Chứng minh bất đẳng thức cauchy

      180

Bất đẳng thức Cosi được áp dụng không hề ít trong các đề thi cao đẳng và đại học. Do đó, các bạn bắt buộc nắm rõ công thức bất đẳng thức cođắm say, giải pháp minh chứng bất đẳng thức coham. Bên cạnh đó, những bạn cần phải giải được các bài tập tương quan đến bất đẳng thức cođắm say. Bài viết bây giờ sẽ giúp phần lớn người cũng cố kỉnh kỹ năng và kiến thức về bất đẳng thức này.

Bạn đang xem: Chứng minh bất đẳng thức cauchy


1. Bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức cotê mê xuất phát điểm từ bất đẳng thức giữa mức độ vừa phải cùng cùng mức độ vừa phải nhân (AM – GM). Cauchy là tín đồ sẽ bao gồm công chứng tỏ bất đẳng thức AM – GM bẳng cách thức quy hấp thụ. Do đó, bất đẳng thức AM – GM được tuyên bố Theo phong cách khác nhằm đổi thay bất đẳng thức cosay mê.

1.1 Bất đẳng thức AM – GM

Cho x1, x2,…, xn là n số thực không âm, lúc đó ta có:

< fracx_1+ x_2 + …, + x_n n ge sqrt x_1x_2…x_n >Đẳng thức xảy ra khi và chỉ còn lúc x1 = x2 =… = xn

Bất đẳng thức này còn rất có thể được tuyên bố dưới dạng

< x_1+ x_2 + …, + x_n ge n sqrt x_1x_2…x_n >Hoặc

< (fracx_1+ x_2 + …, + x_n n)^n ge x_1x_2…x_n >

1.2. Bất đẳng thức Cosi

Giả sử a1 ,a2,…, an  là các số thực bất kì cùng b1, b2,…, bn là những số thực dương. khi đó, ta luôn có:

Đẳng thức xảy ra Khi và chỉ Lúc

1.2.1. Bất đẳng thức comê mẩn mang lại 2 số ko âm

< fraca + b 2 ge sqrt ab >Dấu bằng xẩy ra lúc và chỉ Lúc a = b

1.2.2. Bất đẳng thức cosay đắm mang lại 3 số ko âm

< fraca + b + c 3 ge sqrt <3> abc >Dấu bởi xẩy ra lúc và chỉ còn Lúc a = b = c

1.2.3. Bất đẳng thức comê mệt mang lại 4 số ko âm

< fraca + b + c + d 4 ge sqrt <4> abcd >Dấu bởi xảy ra Lúc còn chỉ Khi a = b = c = d

1.2.4 Bất đẳng thức coham mang đến n số không âm

Với x1, x2,…, xn là n số thực ko âm, khi ấy ta có:

< fracx_1+ x_2 + …, + x_n n ge sqrt x_1x_2…x_n >Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ Khi x1 = x2 =… = xn

2. Chứng minh bất đẳng thức cosi

2.1. Chứng minch bất đẳng thức Cođê mê đúng cùng với 2 thực số ko âm

Rõ ràng cùng với a = 0 cùng b = 0 thì bất đẳng thức luôn luôn đúng (1). Ta chỉ việc chứng minh bất đẳng thức luôn luôn đúng với 2 số a, b dương.

< fraca + b 2 ge sqrt ab >< Leftrightarrow a + b ge 2sqrt ab >< Leftrightarrow a – 2sqrt ab + b ge 0>< (sqrt a – sqrt b)^2 ge 0> (luôn luôn đúng với mọi a, b ≥ 0)

=> Bất đẳng thức đang mang đến luôn luôn đúng với mọi a, b dương (2)

Từ (1) với (2) => bất đẳng thức comê say đúng với 2 số thực a, b ko âm.

2.2. Chứng minc bất đẳng thức Comê say cùng với 3 thực số không âm

Rõ ràng a = 0, b = 0, c = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Do đó, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đúng cùng với 3 số thực a, b, c dương.

Đặt < x = sqrt <3> a, y = sqrt <3> b, z = sqrt <3> c >=> x, y, z ≥ 0 => => x + y + z ≥ 0

Bất đẳng thức của 3 số thực a, b, c dương được quy về thành bất đẳng thức của 3 số thực x, y, z dương.

< (x + y)^3 – 3xy(x + y) + z^3 – 3xyz ge 0 >< (x + y +z)<(x + y)^2 – (x +y)z + z^2>>< – 3xy(x + y + z) ge 0 >< (x + y +z)(x^2 + y^2 + z^2 +2xy – xz – yz) >< – 3xy(x + y + z) ge 0 >< (x + y +z)(x^2 + y^2 + z^2 – xy – xz – yz) ge 0 >< (x + y +z)<(x – y)^2 + (y – z)^2 + (x – z)^2> ge 0 > (luôn luôn đúng với mọi x, y, z ≥ 0)

Dấu “=” xẩy ra Khi x = y = z tuyệt a = b = c.

Xem thêm: Những Bài Văn Biểu Cảm Về Bà Kính Yêu Của Em, Biểu Cảm Về Người Bà Kính Yêu Của Em

2.3. Chứng minc bất đẳng thức Comê mẩn cùng với 4 số thực ko âm

Ta dễ dàng phân biệt rằng cùng với a = 0, b = 0, c = 0, d = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Bây giờ chúng ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đúng cùng với 4 số thực dương.

Từ tác dụng minh chứng bất đẳng thức đúng với 2 số thực không âm ta có:

< a + b + c + d ge 2sqrt <2> ab + 2sqrt <2> cd ge 4sqrt <4> abcd >< Leftrightarrow fraca + b + c + d 4 ge sqrt <4> abcd > (đpcm)

Ta còn đúc rút được hệ quả:

Với < d = fraca + b + c 3>Thì bất đẳng thức trsinh sống về dạng bất đẳng thức coham mê cùng với 3 số thực dương.

2.4. Chứng minc bất đẳng thức Comê mệt với n số thực không âm

Theo chứng minh ở trên, n = 2 thì bất đẳng thức luôn đúng.

Nếu bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số. Chứng minch điều này nhỏng sau:

< x_1+ x_2 + …, + x_n >< ge nsqrt x_1x_2…x_n + nsqrt x_n + 1x_n + 2…x_2n >< ge 2nsqrt <2n> x_n + 1x_n + 2…x_2n >Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng cùng với n là 1 lũy quá của 2.

Mặt không giống trả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng minh chứng được nó đúng cùng với n-1 số như sau:

Theo bất đẳng thức comê man cho n số:

< x_1+ x_2 + …, + x_n ge nsqrt x_1x_2…x_n>< x_n = frac sn – 1, s =x_1 + x_2 + …, + x_n >=> < s ge (n – 1) sqrt x_1x_2…x_n – 1 >Đây đó là bđt Cođê mê (n-1) số. vì thế ta bao gồm dpcentimet.

3. bài tập cơ bản về bất đẳng thức cosi

Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3.

Chứng minc rằng:

< sqrt frac a^2a^2 +b +c + sqrt frac a^2a^2 +b +c + sqrt frac a^2a^2 +b +c le sqrt3 >Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cotê mê, ta có:

(a2 + b + c)(1 + b + c) ≥ (a + b + c)2 . Do kia, để minh chứng bất đẳng thức đang đến, ta chỉ việc chứng tỏ rằng: