Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong oxyz
394
Công thức tính khoảng cách thân hai tuyến phố thẳng chéo cánh nhau. Bài toán thù tính khoảng cách giữa hai đường đẳng chéo cánh nhau.
Hình 1. Khoảng giải pháp thân hai tuyến phố chéo cánh nhauKhoảng bí quyết thân hai tuyến đường trực tiếp chéo nhau. Trong không khí $Oxyz$ cho hai đường thẳng $d_1$ cùng $d_2$ chéo nhau
Khoảng cách giữa $d_1$ với $d_2$, ký hiệu $dleft( d_1,d_2 ight)$, được tính theo cách làm $$dleft( d_1,d_2 ight) = fracleft.$$
Cách khác: Cách 1. Viết phương trình phương diện phẳng $left( Phường ight)$ cất $d_1$ cùng song song với $d_2$. Cặp vector chỉ phương thơm của $left( Phường. ight)$ là $vec u_1,vec u_2$. Suy ra $vec n_P = left< vec u_d_1,vec u_d_2 ight>.$
Bước 2. $dleft( d_1,d_2 ight) = dleft( d_2,left( P ight) ight) = dleft( M_2,left( Phường ight) ight).$
ví dụ như. Tính khoảng cách thân hai tuyến đường trực tiếp $left( d_1 ight):left{ eginarraylx = t\y = 5 - 2t\z = 14 - 3tendarray ight.$ cùng $left( d_2 ight):left{ eginarraylx = 9 - 4lambda \y = 3 + lambdomain authority \z = - 1 + 5lambdaendarray ight..$
Giải. Ta có $vec u_1 = left( 1; - 2; - 3 ight),;;vec u_1 = left( - 4;1;5 ight) Rightarrow left< vec u_1,vec u_2 ight> = left( - 7;7; - 7 ight) Rightarrow left| left< vec u_1,vec u_2 ight> ight| = sqrt left( - 7 ight)^2 + 7^2 + left( - 7 ight)^2 = 7sqrt 3 .$Ta cũng có thể có $M_1left( 0;5;14 ight) in d_1,M_2left( 9;3; - 1 ight) in d_2 Rightarrow overrightarrow M_1M_2 = left( 9; - 2; - 15 ight).$Suy ra $overrightarrow M_1M_2 cdot left< vec u_1,vec u_2 ight> = - 7 cdot 9 + 7 cdot left( - 2 ight) - 7 cdot left( - 15 ight) = 28.$vì thế $dleft( d_1,d_2 ight) = frac overrightarrow M_1M_2 cdot left< vec u_1,vec u_2 ight> ight left< vec u_1,vec u_2 ight> ight = frac287sqrt 3 = frac4sqrt 3 .$
Cách khác. Ta có $vec n_P = left< vec u_d_1,vec u_d_2 ight> = left( - 7;7; - 7 ight) = - 7left( 1; - 1;1 ight)$ và $Mleft( 0;5;14 ight) in d_1 subphối left( Phường ight).$ Suy ra $$left( P ight):1 cdot left( x - 0 ight) - 1 cdot left( y - 5 ight) + 1 cdot left( z - 14 ight) = 0 Leftrightarrow x - y + z - 9 = 0.$$ Như vây $$dleft( d_1,d_2 ight) = dleft( M_2,left( Phường ight) ight) = frac 9 - 3 - 1 - 9 ightsqrt 1^2 + left( - 1 ight)^2 + 1^2 = frac4sqrt 3 .$$
Bạn đang xem: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong oxyz
Khoảng cách giữa $d_1$ với $d_2$, ký hiệu $dleft( d_1,d_2 ight)$, được tính theo cách làm $$dleft( d_1,d_2 ight) = fracleft.$$
Cách khác: Cách 1. Viết phương trình phương diện phẳng $left( Phường ight)$ cất $d_1$ cùng song song với $d_2$. Cặp vector chỉ phương thơm của $left( Phường. ight)$ là $vec u_1,vec u_2$. Suy ra $vec n_P = left< vec u_d_1,vec u_d_2 ight>.$
Bước 2. $dleft( d_1,d_2 ight) = dleft( d_2,left( P ight) ight) = dleft( M_2,left( Phường ight) ight).$
ví dụ như. Tính khoảng cách thân hai tuyến đường trực tiếp $left( d_1 ight):left{ eginarraylx = t\y = 5 - 2t\z = 14 - 3tendarray ight.$ cùng $left( d_2 ight):left{ eginarraylx = 9 - 4lambda \y = 3 + lambdomain authority \z = - 1 + 5lambdaendarray ight..$
Giải. Ta có $vec u_1 = left( 1; - 2; - 3 ight),;;vec u_1 = left( - 4;1;5 ight) Rightarrow left< vec u_1,vec u_2 ight> = left( - 7;7; - 7 ight) Rightarrow left| left< vec u_1,vec u_2 ight> ight| = sqrt left( - 7 ight)^2 + 7^2 + left( - 7 ight)^2 = 7sqrt 3 .$Ta cũng có thể có $M_1left( 0;5;14 ight) in d_1,M_2left( 9;3; - 1 ight) in d_2 Rightarrow overrightarrow M_1M_2 = left( 9; - 2; - 15 ight).$Suy ra $overrightarrow M_1M_2 cdot left< vec u_1,vec u_2 ight> = - 7 cdot 9 + 7 cdot left( - 2 ight) - 7 cdot left( - 15 ight) = 28.$vì thế $dleft( d_1,d_2 ight) = frac overrightarrow M_1M_2 cdot left< vec u_1,vec u_2 ight> ight left< vec u_1,vec u_2 ight> ight = frac287sqrt 3 = frac4sqrt 3 .$
Cách khác. Ta có $vec n_P = left< vec u_d_1,vec u_d_2 ight> = left( - 7;7; - 7 ight) = - 7left( 1; - 1;1 ight)$ và $Mleft( 0;5;14 ight) in d_1 subphối left( Phường ight).$ Suy ra $$left( P ight):1 cdot left( x - 0 ight) - 1 cdot left( y - 5 ight) + 1 cdot left( z - 14 ight) = 0 Leftrightarrow x - y + z - 9 = 0.$$ Như vây $$dleft( d_1,d_2 ight) = dleft( M_2,left( Phường ight) ight) = frac 9 - 3 - 1 - 9 ightsqrt 1^2 + left( - 1 ight)^2 + 1^2 = frac4sqrt 3 .$$
